牛客题解-NC92最长公共子序列

发表于 更新于 分类于 阅读次数：

题目

给定两个字符串str1和str2，输出连个字符串的最长公共子序列。如过最长公共子序列为空，则输出-1。

示例1

输入：

1
"1A2C3D4B56","B1D23CA45B6A"

输出：

1
"123456"

tips：

1
1≤∣str 1∣,∣str 2∣≤5000

思路

分析

首先需要科普一下，最长公共子序列（longest common sequence）和最长公共子串（longest common substring）不是一回事儿。什么是子序列呢？即一个给定的序列的子序列，就是将给定序列中零个或多个元素去掉之后得到的结果。什么是子串呢？给定串中任意个连续的字符组成的子序列称为该串的子串。给一个图再解释一下：

求解LCS问题，不能使用暴力搜索方法。一个长度为n的序列拥有 2的n次方个子序列，它的时间复杂度是指数阶，太恐怖了。解决LCS问题，需要借助动态规划的思想。 动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。

解决LCS问题，需要把原问题分解成若干个子问题，所以需要刻画LCS的特征。

设A=“a0，a1，…，am”，B=“b0，b1，…，bn”，且Z=“z0，z1，…，zk”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质： 如果am=bn，则zk=am=bn，且“z0，z1，…，z(k-1)”是“a0，a1，…，a(m-1)”和“b0，b1，…，b(n-1)”的一个最长公共子序列； 如果am!=bn，则若zk!=am，蕴涵“z0，z1，…，zk”是“a0，a1，…，a(m-1)”和“b0，b1，…，bn”的一个最长公共子序列； 如果am!=bn，则若zk!=bn，蕴涵“z0，z1，…，zk”是“a0，a1，…，am”和“b0，b1，…，b(n-1)”的一个最长公共子序列。

假如S1的最后一个元素 与 S2的最后一个元素相等，那么S1和S2的LCS就等于 {S1减去最后一个元素} 与 {S2减去最后一个元素} 的 LCS 再加上 S1和S2相等的最后一个元素。

假如S1的最后一个元素 与 S2的最后一个元素不等（本例子就是属于这种情况），那么S1和S2的LCS就等于 ： {S1减去最后一个元素} 与 S2 的LCS， {S2减去最后一个元素} 与 S1 的LCS 中的最大的那个序列。

假设我需要求 a1 ... am 和 b1 .. b(n-1)的LCS 和 a1 ... a(m-1) 和 b1 .. bn的LCS，一定会递归地并且重复地把如a1... a(m-1) 与 b1 ... b(n-1) 的 LCS 计算几次。所以我们需要一个数据结构来记录中间结果，避免重复计算。

​ 假设我们用c[i,j]表示Xi 和 Yj 的LCS的长度（直接保存最长公共子序列的中间结果不现实，需要先借助LCS的长度）。其中X = {x1 ... xm}，Y ={y1...yn}，Xi = {x1 ... xi}，Yj={y1... yj}。可得递归公式如下：

本文S1和S2的最LCS并不是只有1个，本文并不是着重讲输出两个序列的所有LCS，只是介绍如何通过上表，输出其中一个LCS。

我们根据递归公式构建了上表，我们将从最后一个元素c[8][9]倒推出S1和S2的LCS。

c[8][9] = 5，且S1[8] != S2[9]，所以倒推回去，c[8][9]的值来源于c[8][8]的值(因为c[8][8] > c[7][9])。

c[8][8] = 5, 且S1[8] = S2[8], 所以倒推回去，c[8][8]的值来源于 c[7][7]。

以此类推，如果遇到S1[i] != S2[j] ，且c[i-1][j] = c[i][j-1] 这种存在分支的情况，这里请都选择一个方向（之后遇到这样的情况，也选择相同的方向）。

实现

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
import java.util.*;


public class Solution {
    /**
     * longest common subsequence
     * @param s1 string字符串 the string
     * @param s2 string字符串 the string
     * @return string字符串
     */
    public String LCS (String s1, String s2) {
        // write code here
        int l1 = s1.length(), l2 = s2.length();
        if(s1 == null||s2 == null|| s1 == "" || s2 == "") return "-1";
        int[][] dp = new int[l1 + 1][l2 + 1];
        for(int i = 0; i <= l1; i++) {dp[i][0] = 0;}
        for(int j = 0; j <= l2; j++) {dp[0][j] = 0;}
        for(int i = 1; i <= l1; i++){
            for(int j = 1; j <= l2; j++){
                if(i == 0 || j == 0){
                        dp[i][j] = 0;
                        continue;
                }
                if(s1.charAt(i-1) == s2.charAt(j-1)){
                        dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                }else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
       StringBuilder sb = new StringBuilder();
        while(l1 != 0 && l2 != 0){
            if(s1.charAt(l1-1) == s2.charAt(l2 - 1)){
                sb.append(s1.charAt(l1-1));
                l1 --;
                l2 --;
            }else{
                if(dp[l1 - 1][l2] > dp[l1][l2-1]){
                    l1--;
                }else{
                    l2--;
                }
            }
        }
        if(sb.length() == 0) return "-1";
        return sb.reverse().toString();
    }
}